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了解和掌握森林资源的动态变化，对制定森林抚育经营方案和措施，促进森林质量精准提升具有重要的意义。森林生长模型是了解和掌握森林资源动态变化的一项重要工具。这类方程的形式很多，可以分为理论生长函数、经验生长函数和Box-Lucas生长函数，而著名的理论生长函数有Richards模型，Schumacher模型，Schnute模型等[1-3]。这些模型一直被广泛应用，如模拟树高生长，优势高生长，断面积生长等。森林生长模型在构建和应用研究中，通常使用年龄作为重要因子，但林木年龄因子往往存在两方面的问题，一是测定困难，一般需要用生长锥测定具有清晰年轮树种的从髓心开始的整个年轮的数据，对于没有清晰年轮的树种，测定往往非常困难，而绝大多数阔叶树不具有清晰的年轮；二是年龄不一定有效，在树木年龄差异较大的林分中，年龄不能用于预测林木或林分生长和产量，特别是对于天然林的生长和动态监测更加依赖于年龄无关的生长模型。因此，年龄无关的森林生长模型的研究变得越来越必要。
国内外许多学者开展了一些与年龄无关的森林生长模型的相关研究。Martin等[4]，Monserud等[5]，Trasobares等[6]通过使用与年龄无关的经验线性模型模拟了单木的生长，但是这类模型可能不能确保单木或林分生长有适合的生长曲线特性，即生长曲线达到最大生长量后生长逐渐下降。而应用理论生长函数这个特性进行外推预测林木生长时，可以保证单木或林分的生物学特性。
Vanclay[7-8]考虑单木或林分生长曲线的生物学特性，构建了具有这种性质的线性经验函数，并已经被许多作者成功地使用。这类生长函数的表达式如下：
${\rm{ln}}\left( {\frac{{dY}}{{dt}}} \right) = {\beta _0} + {\beta _1}{\rm{ln}}Y + {\beta _1}\ln {Y^k}$
(1) 其中Y为林木变量生长量，dY和dt为林木变量生长率，k可以取为1或2，常数β0可以表达为环境变量和(或)竞争变量的函数。然而，这些参数没有特定生物学意义的含义。
Huang和Titus[9]为了模拟阿尔伯达北部混交林中白云杉(Picea glauca (Moench) Voss)的直径增量生长变化，比较了前面生长函数的非线性形式与能描述单木或林分生长曲线形状的非线性Box-Lucas函数，结论是Box-Lucas函数模拟直径生长效果比非线性的经验生长函数好。Box-Lucas函数表达式为：
$ \frac{dY}{dt}=\frac{{\theta }_{1}}{{\theta }_{1}-{\theta }_{2}}({\mathrm{e}}^{-{\theta }_{2}Y}-{\mathrm{e}}^{-{\theta }_{1}Y}) $
(2) 其中：θ1和θ2是估计增量曲线形状的参数，dY和dt为林木变量生长率。这些函数和其他类似的函数可以用来对单木或林分变量的增量进行建模。这些参数也不具有特定生物学意义的含义。
理论生长函数通常建立在公认的生物学关系的基础上，因此它们的模型参数可以从生物学的角度进行解释。不管树种和林分类型，树木的生长都遵循某种S型或凸型生长曲线，它显示出树木寿命的3个阶段。模拟树木和林分生长的一种非常成功的方法是使用用差分方程表示的生长函数，如Bailey等[10]和Borders等[11]提出的，已被许多学者使用[12-14]。差分方程表示一组生长函数，除了一个“自由”参数外，所有参数都是公共的。但多数这类差分方法并没有隐去年龄。Tomé等[15]利用隐去年龄的差分方法将Lundqvist模型和Richards模型分别应用于葡萄牙桉树优势高生长和软木栎胸径生长的研究；Gea-lzquierdo等[16]基于Hossfeld IV和korf模型的差分形式模拟树木直径的生长。葛宏立[17]以Johnso -Schumacher 模型为基础，导出年龄隐含的模型应用于森林资源连续清查数据的生长研究，邹奕巧等[18]用丽水市的马尾松样木胸径数据，导出了Richards模型隐去年龄的形式，并采用单点估计法和双点估计法2种方法进行研究。但是，此类研究目前为止相对较少，而且这些研究往往没有或者较少考虑到环境因子对于生长的影响。本研究以理查德模型为基础研究隐含年龄的差分形式，并建立差分方程的系数参数与环境因子和林分因子的相关函数，以便更好的解决年龄不可及或者不是有效变量的问题和更全面解释单木和林分生长的生物学特性，为混交林质量精准提升提供一种有效的经营工具。
-
研究采用2004和2009年吉林省两期177块落叶松固定样地数据，测量间隔为5 a。固定样地为20 m×30 m，主要调查因子有胸径、林分年龄、平均树高、郁闭度、地位级、坡位、坡向、坡度、海拔高度、土层厚度和土壤类型等（见表1）。落叶松样地的选取原则是树种组成中，落叶松的胸径断面积超过70%，平均高通过每块样地3株平均木的树高取平均得到，平均年龄通过生长锥钻取3株平均木的树芯计算的年龄平均值得到。研究区气候数据从WorldClim数据库下载得到（网址：
www.worldclim. org ）。每个样地可以下载19个用于构建气候敏感的生物量模型的候选气候因子（表2），分辨率为1 km×1 km。这些因子可以分为两大类，即温度有关的变量10个和降水量有关的变量9个。每个气候因子是1990—2000年的平均值。表 1 林分和气候因子
Table 1. Stand and climate factors
变量名
Variables平均胸径
Mean DBH/cm平均年龄
Mean Age/a平均高
Mean Height/mBIO12/
mmBIO13/
mmBIO8/℃ 土壤厚度
Soil depth/cm断面积
Basal area/(m2·hm−2）平均数Mean 12.82 34.05 12.68 5.87 98.70 19.00 43.23 11.24 标准差
Stand deviation4.51 25.95 5.08 1.85 4.22 1.71 10.03 7.07 最小值 Min 5.47 6.00 3.50 2.02 84.44 15.01 20.00 0.28 最大值 Max 28.75 70.00 33.00 10.00 109.87 22.05 80.00 37.50 注：平均温度BIO8、年降水雨量BIO12和最湿季度降水量BIO13
Note：Mean temperature of wettest quarter BIO8, annual precipitation BIO12 and precipitation of wettest month BIO13利用双重筛选逐步回归方法，建立两期平均高和19个气候因子的线性关系，入选的因子为最湿季度的平均温度BIO8、年降水量BIO12和最湿季度的降水量BIO13，这3个气候因子在建模中最为敏感，本研究予以选用。具体含义见表2。
表 2 入选气候因子含义
Table 2. Implications for selected climate factors
气候参数
Climatic factors描述
DescriptionsBIO8/℃ 最湿季度的平均温度
Mean temperature of wettest quarterBIO12/mm 年降水量
Annual precipitationBIO13/mm 最湿月的降水量
Precipitation of wettest month -
理查德方程认为一个器官的生长可以表达成有机物合成和降解之差。假设合成可以被表达成质量的异速生长关系，而降解和质量是成比率的，因此生长可以被表达为：
$ \frac{dY}{dt}={\beta }_{1}{Y}^{m}-{\beta }_{2} $
(3) 式中：β1、β2和m是参数。生长方程是不基于年龄的，因此对于异龄林样地或者年龄未知的异龄林样地数据结构模拟单木或林分生长是非常适用的。实际应用中，上式瞬时生长量用单木或林分收获量表达即形式可以由式（3）积分为：
$ Y=A{{(1-c\mathrm{e}}^{-kt})}^{\frac{1}{1-m}} $
(4) 式中：参数可以分别由下式表达：
$ A={\left(\frac{{\beta }_{1}}{{\beta }_{2}}\right)}^{\frac{1}{1-m}} $
(5) $ k={\beta }_{2}\left(1-m\right) $
(6) A是当t趋于无穷时的渐近线，k是和生长率相关的参数，m是形状参数。
$ c={\mathrm{e}}^{-k{t}_{0}} $ ，t0是Y=0时的年龄。大多数应用中，如果t0=0时C=1。这里取C=1.与年龄无关的差分形式可以通过类似于通常用于将生长函数公式化为差分方程的方法(如Amaro等[12]的过程来获得）。考虑到吉林省177块天然落叶松林的连续清查数据缺乏年龄，为了建立单木或林分的树高生长模型，本研究基于理查德方程（4）推导不含年龄的差分生长方程。根据式（4），第i年和第i+a年的平均高为：
$ {Y}_{i}=A{\left({1-\mathrm{e}}^{-k{t}_{i}}\right)}^{\frac{1}{1-m}} $
(7) $ {Y}_{i+a}=A{\left({1-\mathrm{e}}^{-k{t}_{i+a}}\right)}^{\frac{1}{1-m}} $
(8) 从而得到
$ \mathrm{l}\mathrm{n}\left(1-\left({\left(\frac{{Y}_{i+a}}{A}\right)}^{1-m}\right)\right)=-k({t}_{i.}+a) $
(9) $ \mathrm{l}\mathrm{n}\left(1-\left({\left(\frac{{Y}_{i}}{A}\right)}^{1-m}\right)\right)=-k\left({t}_{i.}\right) $
(10) 式（9）和式（10）两个式子相减得到
$ \mathrm{l}\mathrm{n}(1-\left({\left(\frac{{Y}_{i+a}}{A}\right)}^{1-m}\right)-\mathrm{l}\mathrm{n}(1-\left({\left(\frac{{Y}_{i}}{A}\right)}^{1-m}\right)=-ka $
(11) 因此，第i+a年的差分生长方程就可以写成：
$ {Y}_{i+a}=A{\left\{1-{\mathrm{e}}^{-ka}\left[1-{\left(\frac{{Y}_{i}}{A}\right)}^{1-m}\right]\right\}}^{\frac{1}{1-m}} $
(12) 在这里，a为预测期，或为连续清查时间间隔，Yi+a是预测期（或连续清查时间间隔）的单木或平均高，Yi是连续清查时间初期的单木或平均高，A是当t趋于无穷时的渐近线，k是和生长率相关的参数，m是形状参数。式（12）表达比较复杂，但是当拟合单木树高或平均树高生长时参数很容易收敛。
为了模拟平均树高生长，本研究分别尝试采用k为固定参数和自由参数两种形式。也考虑了m为自由参数的情况，但获得的结果是m受林分因子、气候因子的影响不明显。当k为自由参数时，将k表达为林分因子和气候因子的线性函数关系。
其表达形式分别有如下4个形式，并进行比较。
$k = {b_0} + {b_1}*BA + {b_2}*S$
(13) $ k={b}_{0}+{b}_{1}\!*\!BA+{b}_{2}*S+{b}_{3}*BIO8+{b}_{4}*BIO12+{b}_{5}*BIO13 $
(14) $ k={b}_{0}+{b}_{2}*S\!+\!{b}_{3}*BIO8+{b}_{4}*BIO12+{b}_{5}*BIO13 $
(15) $ k={b}_{0}+{b}_{3}*BIO8+{b}_{4}*BIO12+{b}_{5}*BIO13 $
(16) 在这里，
$ {b}_{0} $ ~$ {b}_{5} $ 是估计参数，BA是样地断面积，S是土壤厚度，BIO8为最湿季度的平均温度，BIO12是年降水量，BIO13是最湿月份的降水量。 -
选择平均误差(
$\bar e$ )，均方根误差(RMSE)，总相对误差(TRE)，确定系数(${R^2}$ )4种统计量来检验模型的拟合优度和误差，并观察残差分布是否有异质性。利用修正确定系数AjustedR2对模型进行检验和评价（式22）。$\bar e = \displaystyle\sum {({y_t} - {{\hat y}_t})/N} $
(17) $\delta = \displaystyle\sum {{{({y_t} - {{\hat y}_t})}^2}}/\left(N - 1\right)$
(18) $RMSE = \sqrt {{{\bar e}^2} + \delta } $
(19) $TRE = {\rm{100*}}\frac{{\displaystyle\sum {{{{\rm{(}}{{{y}}_{{t}}} - {{\hat y}_t})}^2}} }}{{\displaystyle\sum {{{\hat y}_t}} }}$
(20) ${R^2} = 1 - \displaystyle\sum {{{({y_t} - {{\hat y}_t})}^2}}/{\displaystyle\sum {({y_t} - \bar y)} ^2}$
(21) $Ajusted{R^2} = 1 - \left(1 - {R^2}\right)\frac{{n - 1}}{{n - k - 1}}$
(22) 其中：
${y_t}$ ，${{\overset{\frown} y}_t}$ ，n，k分别表示第t个观测值、第t个估计值、观测值数和回归模型参数个数。 -
对模型间的差异采用F统计检验，F统计指标按照下式计算：
$F = \frac{{(ss{e_s} - ss{e_c})/(d{f_s} - d{f_c})}}{{ss{e_c}/d{f_c}}}$
(23) 其中：sses和dfs分别为Richards模型1的回归模型残差平方和和自由度，ssec和dfc分别为Richard模型2的回归模型残差平方和和自由度。
利用上式计算的Ｆ值与自由度分别为dfs-dfc和dfs的F临界值进行比较，以确定两个模型之间是否存在显著差异。
-
表3是利用最小二乘法拟合的模型式（13）~（15）、式（12）和式（4）的参数值。从表中可以看到，所有模型的渐近线A值在17.53~22.72之间，年龄无关的平均高生长模型式（13）~（15）和式（12）的渐近线在21.85~22.72之间，更符合落叶松最大高的实际情况。而年龄相关的模型式（4）的渐近线只有17.53，明显偏低。
表 3 模型参数
Table 3. Model parameters
模型 Models A k c m 式13 Formula 13 23.4453 0.030~0.057 4 0.110 1 式14 Formula 14 21.853 2 0.017~0.065 8 0.122 3 式15 Formula 15 21.933 7 0.0218~0.058 0 0.135 6 式16 Formula 16 22.000 0 0.0210~0.05 9 0.114 6 式12 Formula 12 22.705 2 0.0338 0.157 1 式4 Formula 4 17.705 2 0.0556 0.015 0.985 2 在表4中，利用刀切法对模型进行验证，每次从建模样本中随机抽取50%的样本，使用同一模型拟合，重复10次，进行模型参数的灵敏度分析来评价模型；拟合结果使用验证样本年龄无关的模型式（13）~（16）和式（12）的修正确定系数在0.92~0.94之间，而年龄相关的模型修正确定系数为0.85，时间无关的模型修正确定系数提高了8%~10%；模型式（13）~（16）和式（12）的均方根误差RMSE在1.30~1.59之间，远远小于年龄相关的模型式（4）的20.48。如图1a和图1b所示，时间和平均高的关系很难用一条曲线来描述，而用年龄无关的模拟拟合的平均高和实测平均高相关系数却高达0.97。
图 1 a 时间和平均高的关系图 ，b 模型式（16）实测和预测数据关系图
Figure 1. a The relationship between mean height and Age b The relationship between fitting data and measured data of formula 16
表 4 线性函数参数
Table 4. Parameters of linear function
模型
Models式13
Formula 13式14
Formula 14式15
Formula 13式16
Formula 16b0 0.0192 0.109 285 0.163 349 0.159 205 b1 −5.3E-05 −2.3E-05 b2 0.009 78 0.009 982 −4.3E-05 b3 0.000 615 0.000 451 0.001 235 b4 0.001 268 0.001 228 −0.001 39 b5 −0.001 06 −0.001 41 0.114 556 年龄无关的几个模型进行对比，从表5的F值来看，F0.05在2.42~3.89之间，F值在0.15~81.05之间。从表中可以看出，模型式（15）和式（16）的F值是0.15，F0.05是3.89，说明这两个模型差异不显著；同样模型式（15）和式（13）的F值是2.98，F0.05是3.89，说明这两个模型差异也不显著。其它模型两两对比，都差异显著。
表 5 模型F值
Table 5. F parameter of models
模型
Models式13
Formula 13F/F0.05式14
Formula 14 F/F0.05式15
Formula 15F/F0.05式14
Formula 14F/F0.05式12
Formula 12 F/F0.05式13
Formula 13式14
Formula 145.97/2.65 式15
Formula 152.98/3.89 12.22/3.89 式16
Formula 165.82/3.04 6.21/3.04 0.15/3.89 式12
Formula 1215.37/3.89 7.94/3.04 20.84/3.04 10.36/3.04 式4
Formula 4161.78/3.89 40.73/2.42 54.03/2.65 81.05/3.04 − 注：−表示两个模型自由度相同，无法计算F值
Note：− means that the two models have the same degree of freedom, so the value of F cannot be calculated模型式（13）和式（14）对比，式（14）引入了气候因子，气候因子的选用参考了José Tomé等[12]的文章，从F值来看，差异显著，同时式（14）的修正决定系数0.941 9，也高于式（13）的0.935 2（表6），而式（14）的均方根误差RMSE和TRE较式（13）也有明显的降低，说明气候因子的引入提高了模型的模拟效果。图2是6个模型的残差分布图，从图上看出年龄无关的模型（式12~16）的残差分布均优于年龄相关的模型(式4)。
图 2 模型残差分布图(a. 式12, b. 式13, c. 式14, d. 式15, e. 式16, f. 式4)
Figure 2. Distribution of residuals errors (a. Formula 12, b. Formula 13, c. Formula 14, d. Formula 15, e. Formula 16, f. Formula 4)
表 6 模型统计值
Table 6. Model statistics
模型 Models $\bar e$ RMSE TRE AjuestR2 式13 Formula 13 0.000 3 0.513 3 1.450 4 0.935 2 式14 Formula 14 0.002 5 0.486 0 1.300 4 0.941 9 式15 Formula 15 0.001 0 0.504 3 1.400 4 0.937 4 式16 Formula 16 0.000 3 0.504 6 1.401 6 0.937 4 式12 Formula 12 −5.881 356E-06 0.537 6 1.590 9 0.928 9 式4 Formula 4 0.000 3 1.929 0 20.483 7 0.851 5 注: $\bar e$,平均误差; RMSE, 均方根误差; TRE, 总相对误差; AjustedR2，修正确定系数
Note: $\bar e$, mean bias; RMSE, root mean square error; TRE, total relative error; AjustedR2, Correction coefficient of determination本研究在模型式（13）~（16）中采用自由参数k的形式，将k表达成立地因子和气候因子的线性形式，而模型式（12）采用固定参数的形式，对比两类模型发现，模型式（13）~（16）的修正可绝系数均大于式（12），而误差均小于式（12）。
-
本研究基于Richards函数建立了年龄无关的差分方程，从而可用于年龄未知或者年龄不是有效因子的情况下的林分。选择年龄已知的固定样地，对比了年龄无关模型和年龄有关模型的模拟精度。年龄无关的生长模型比年龄相关的模型精度高而误差小。葛宏立等(17)采用年龄无关模型方法研究马尾松生长模型时预测精度高达99.80%，高东启等[19]用年龄无关的模型拟合蒙古栎生长，模型的R 都大于0.98，预估精度在99.40%~99.72%之间，邱思玉等[20]分别用不同的年龄无关树高模型建立优势高模型也得到了较高的预估精度，研究结果与本研究基本一致。分析原因，可能是因为年龄无关的生长模型直接以单木自身的观测值为自变量来预测后期的生长情况，这在一定程度上淡化了林相、立地、竞争等因子的影响。
另外，从拟合得到的渐近线来看，年龄无关模型拟合的渐近线更符合落叶松高的实际情况，分析原因，作者认为一方面年龄无关的模型具有较好的预测能力。另一方面外业调查获得的林分年龄存在一定的偏差，这也和年龄因子难于获得有关。
同时，本研究采用自由参数的方式将与年龄无关的立地因子和气候因子引入模型的拟合中，对比固定参数和自由参数的两类模型，可以发现自由参数的模型表现更好。因此认为参数k与立地因子和气候因子相关性强，这和Tomé等[15]的结论一致。引入气候因子的模型比仅引入林分因子的模型表现更好，说明考虑气候对生长的影响更有利于优势高生长的模拟。
但是，以5 a为预测间隔期是比较短的，树木生长短期内不会有太大的生长变化，使得模型的预测误差较小，从而保证了模型有较高的预测精度。模型仍然需要三期及以上的数据进行进一步的检验，从而分析在年龄间隔较大时能否保证较高的预测精度。
年龄无关的生长模型研究—以落叶松平均高为例
Study on Age-independent Tree Model: Taking the Average Height of Larix gmelinii as an Example
-
摘要:
目的 构建年龄无关的理论生长模型，用于年龄未知或者年龄不是有效因子的情况下的林分生长模拟。 方法 基于理论模型理查德模型，利用隐含年龄的差分形式，构建年龄无关的生长模型来拟合落叶松林分的平均高，并将自由参数表达为林分相关因子和立地因子的函数。 结果 利用刀切法对模型进行验证，时间无关的模型的修正确定系数在0.92~0.94之间，而时间相关的模型修正确定系数为0.85，时间无关的模型修正确定系数提高了8%~10%；时间无关模型的均方根误差RMSE在1.30~1.59之间，远远小于时间相关模型的20.48。年龄无关的模型之间对比，引入气候因子的模型，修正确定系数均方根误差RMSE和TRE较没有引入的有明显的降低，说明气候因子的引入提高了模型的模拟效果。 结论 可以将年龄无关的理论模型应用于年龄不可用或者不相关的林分中。采用自由参数的方式将与年龄无关的立地因子和气候因子引入模型的拟合中，对比固定参数和自由参数的两类模型，可以发现自由参数的模型表现更好。在平均高生长模型中引入立地因子和气候因子，模型效果更好。 Abstract:Objective To construct an age-independent theoretical growth model for simulating forest growth. Method The Richards model was used to fit the average height of Larix gmelinii stand in Jilin Province by using the difference form of implicit age. The growth model independent of age was constructed, and the free parameters were expressed as functions of stand correlation factor and site factors. Result The Jackknife method was used to validate the model. The age-independent model correction determination coefficient was between 0.92 and 0.94, while the age-dependent model correction determination coefficient was 0.85, and the age-independent model correction determination coefficient was increased by 8%~10%. The root mean square error (RMSE) of the age-independent model was between 1.30 and 1.59, which was much less than that of the age-dependent model (20.48). Comparing the age-independent models, introducing climate factor model to correct the RMSE and total relative error (TRE) of the determination coefficients was significantly lower than that without introducing, which showed that the introduction of climate factor improved the simulation effect of the model. Conclusion The age-independent theoretical models can be applied to stand where the age is unavailable or unrelated. In this paper, the age-independent site factors and climate factors are introduced into the model fitting in the way of free parameters. By comparing the two kinds of models with fixed parameters and free parameters, it is found that the model with free parameters performs better. This paper argues that the model is more effective by introducing site factors and climate factors into the average height growth model. -
Key words:
- age independent
- / theoretical growth model
- / difference equation
- / accuracy estimation
- / Richards model
-
图 1 a 时间和平均高的关系图 ，b 模型式（16）实测和预测数据关系图
Figure 1. a The relationship between mean height and Age b The relationship between fitting data and measured data of formula 16
图 2 模型残差分布图(a. 式12, b. 式13, c. 式14, d. 式15, e. 式16, f. 式4)
Figure 2. Distribution of residuals errors (a. Formula 12, b. Formula 13, c. Formula 14, d. Formula 15, e. Formula 16, f. Formula 4)
表 1 林分和气候因子
Table 1. Stand and climate factors
变量名
Variables平均胸径
Mean DBH/cm平均年龄
Mean Age/a平均高
Mean Height/mBIO12/
mmBIO13/
mmBIO8/℃ 土壤厚度
Soil depth/cm断面积
Basal area/(m2·hm−2）平均数Mean 12.82 34.05 12.68 5.87 98.70 19.00 43.23 11.24 标准差
Stand deviation4.51 25.95 5.08 1.85 4.22 1.71 10.03 7.07 最小值 Min 5.47 6.00 3.50 2.02 84.44 15.01 20.00 0.28 最大值 Max 28.75 70.00 33.00 10.00 109.87 22.05 80.00 37.50 注：平均温度BIO8、年降水雨量BIO12和最湿季度降水量BIO13
Note：Mean temperature of wettest quarter BIO8, annual precipitation BIO12 and precipitation of wettest month BIO13
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表 2 入选气候因子含义
Table 2. Implications for selected climate factors
气候参数
Climatic factors描述
DescriptionsBIO8/℃ 最湿季度的平均温度
Mean temperature of wettest quarterBIO12/mm 年降水量
Annual precipitationBIO13/mm 最湿月的降水量
Precipitation of wettest month
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表 3 模型参数
Table 3. Model parameters
模型 Models A k c m 式13 Formula 13 23.4453 0.030~0.057 4 0.110 1 式14 Formula 14 21.853 2 0.017~0.065 8 0.122 3 式15 Formula 15 21.933 7 0.0218~0.058 0 0.135 6 式16 Formula 16 22.000 0 0.0210~0.05 9 0.114 6 式12 Formula 12 22.705 2 0.0338 0.157 1 式4 Formula 4 17.705 2 0.0556 0.015 0.985 2
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表 4 线性函数参数
Table 4. Parameters of linear function
模型
Models式13
Formula 13式14
Formula 14式15
Formula 13式16
Formula 16b0 0.0192 0.109 285 0.163 349 0.159 205 b1 −5.3E-05 −2.3E-05 b2 0.009 78 0.009 982 −4.3E-05 b3 0.000 615 0.000 451 0.001 235 b4 0.001 268 0.001 228 −0.001 39 b5 −0.001 06 −0.001 41 0.114 556
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表 5 模型F值
Table 5. F parameter of models
模型
Models式13
Formula 13F/F0.05式14
Formula 14 F/F0.05式15
Formula 15F/F0.05式14
Formula 14F/F0.05式12
Formula 12 F/F0.05式13
Formula 13式14
Formula 145.97/2.65 式15
Formula 152.98/3.89 12.22/3.89 式16
Formula 165.82/3.04 6.21/3.04 0.15/3.89 式12
Formula 1215.37/3.89 7.94/3.04 20.84/3.04 10.36/3.04 式4
Formula 4161.78/3.89 40.73/2.42 54.03/2.65 81.05/3.04 − 注：−表示两个模型自由度相同，无法计算F值
Note：− means that the two models have the same degree of freedom, so the value of F cannot be calculated
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表 6 模型统计值
Table 6. Model statistics
模型 Models $\bar e$ RMSE TRE AjuestR2 式13 Formula 13 0.000 3 0.513 3 1.450 4 0.935 2 式14 Formula 14 0.002 5 0.486 0 1.300 4 0.941 9 式15 Formula 15 0.001 0 0.504 3 1.400 4 0.937 4 式16 Formula 16 0.000 3 0.504 6 1.401 6 0.937 4 式12 Formula 12 −5.881 356E-06 0.537 6 1.590 9 0.928 9 式4 Formula 4 0.000 3 1.929 0 20.483 7 0.851 5 注: $\bar e$,平均误差; RMSE, 均方根误差; TRE, 总相对误差; AjustedR2，修正确定系数
Note: $\bar e$, mean bias; RMSE, root mean square error; TRE, total relative error; AjustedR2, Correction coefficient of determination
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